Question

16．在平行四边形ABCD中，AB=10$\sqrt{3}$，BC=CD=AD=10，设M为△ABD的面积，N为△BCD的面积，问：当M²+N²为最大时，△ABD是怎样的三角形？

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，根据余弦定理可证得cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，然后根据三角形的面积公式及sin²α+cos²α=1，将△ABD和△BCD的面积的平方和用cosA的表达式表示，然后运用配方法可得当cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，△ABD和△BCD的面积的平方和最大，然后运用三角函数及勾股定理依次求出AE、BE、DE、BD的值，就可证到△ABD为等腰三角形．

解答 解：△ABD为等腰三角形．
理由如下：
过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，如图，
，
则有DE=AD•sinA=10sinA，DF=DC•sinC=10sinC．
根据余弦定理可得：
DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=100+300-200$\sqrt{3}$cosA=400-200$\sqrt{3}$cosA，
DB²=DC²+BC²-2DC•BC•cosC=100+100-200cosC=200-200cosC，
∴400-200$\sqrt{3}$cosA=200-200cosC，
∴cosC=$\sqrt{3}$cosA-1．
∵AB=10$\sqrt{3}$，BC=CD=DA=10，
∴（S_△ABD）²+（S_△DBC）²=（$\frac{1}{2}$AB•DE）²+（$\frac{1}{2}$BC•DF）²
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•sinA•100）²+（$\frac{1}{2}$sinC•100）²=100（$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²C）．
=100[$\frac{3}{4}$（1-cos²A）+$\frac{1}{4}$（1-cos²C）]=100[1-$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$cos²C]
=100[1-$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$（$\sqrt{3}$cosA-1）²]=100[-$\frac{3}{2}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$
=-$\frac{3}{2}$（cos²A-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA）+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$[（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²-$\frac{1}{12}$]+$\frac{3}{4}$]
=100[-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$]
∴当cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，（S_△ABD）²+（S_△DBC）²取到最大值为$\frac{7}{8}$×100=$\frac{175}{2}$，
此时AE=AD•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，BE=AB-AE=，
DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=10$\sqrt{\frac{11}{12}}$，DB=$\sqrt{{DE}^{2}{+BE}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，
∴DB=AB=10$\sqrt{3}$，
∴△ABD为等腰三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理、三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，还用到了公式sin²α+cos²α=1，运用配方法是解决本题的关键．