Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C₂过点A（29，0）．
（1）求圆弧C₂的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足$PA=\sqrt{30}PO$？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆弧 C₁所在圆的方程为 x²+y²=169，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为 y-6=2（x-17），进而可求圆弧 C₂所在圆的圆心为 （14，0），圆弧C₂ 所在圆的半径为=29-14=15，故可求圆弧C₂ 的方程；
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=$\sqrt{30}$PO，得x²+y²+2x-29=0，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在．

解答 解：（1）圆弧 C₁所在圆的方程为 x²+y²=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，-12）…2分
则直线AM的中垂线方程为 y-6=2（x-17），
令y=0，得圆弧 C₂所在圆的圆心为 （14，0），
又圆弧C₂ 所在圆的半径为29-14=15，
所以圆弧C₂ 的方程为（x-14）²+y²=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=$\sqrt{30}$PO，得x²+y²+2x-29=0 …8分
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+2x-29=0\\{x}^{2}+{y}^{2}=169\end{array}\right.$，解得x=-70 （舍去） 9分
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+2x-29=0\\{（x-14）}^{2}+{y}^{2}=225\end{array}\right.$，解得 x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分

点评 本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．