Question

13．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$的最小值为$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 实数a+b=2，a＞0，b＞0，则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}\frac{a+b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{b}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵实数a+b=2，a＞0，b＞0，
则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}\frac{a+b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{b}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{b}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a=4-2$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．