Question

5．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）＞4．

Answer 1

分析 （1）根据|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，求出f（x）的最小值；
（2）讨论x的取值范围，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）＞4的解集．

解答 解：（1）因为|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，
所以f（x）的最小值等于3，即a=3；
（2）由（1）知，当-1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）＞4不成立；
当x＜-1时，f（x）=-（x+1）-（x-2）=-2x+1，
不等式f（x）＞4化为-2x+1＞4，解得x＜-$\frac{3}{2}$；
当x＞2时，f（x）=（x+1）+（x-2）=2x-1，
不等式f（x）＞4化为2x-1＞4，解得x＞$\frac{5}{2}$；
所以，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了绝对值不等式的应用问题，是基础题目．