Question

20．设函数$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$，若关于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有四个不同的实数解，则满足题意的实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（{0，\frac{3}{2}}）$
• C． （1，2）
• D． $（{1，\frac{3}{2}}）∪（{\frac{3}{2}，2}）$

Answer 1

分析 化简方程可得f（x）=$\frac{3}{2}$或f（x）=a；从而作函数$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$的图象，化为图象的交点的个数问题即可．

解答 解：∵2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0，
∴（2f（x）-3）（f（x）-a）=0，
∴f（x）=$\frac{3}{2}$或f（x）=a；
作函数$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$的图象如下，
，
结合图象可知，
1＜a＜$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$＜a＜2；
故选：D．

点评 本题考查了方程的根的解法及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．