Question

15．在△ABC中，已知a⁵+b⁵=c⁵，则下列结论中：
①sinA+sinB＜2sin$\frac{A+B}{2}$；
②cosB+cosC＜2cos$\frac{B+C}{2}$；
③tanA+tanC＞2tan$\frac{A+C}{2}$；
其中恒成立的有2个．

Answer 1

分析 由已知条件判断可得△ABC为锐角三角形，然后利用三角函数的和差化积化简分析得答案．

解答 解：在△ABC中，∵a⁵+b⁵=c⁵，
∴（a²+b²）⁵-（c²）⁵=（a²+b²）⁵-（c⁵）²
=（a²+b²）⁵-（a⁵+b⁵）²＞0，
∴a²+b²＞c²，
∴∠C为锐角，又∠A＜∠C，∠B＜∠C，
∴△ABC为锐角三角形．
则sinA+sinB=$2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$≤2sin$\frac{A+B}{2}$，故①错误；
cosB+cosC=$2cos\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$＜2cos$\frac{B+C}{2}$，故②正确；
由tanA+tanC=tanAtanBtanC-tanB=tan（A+C）（1-tanAtanC）＞2tan$\frac{A+C}{2}$，故③正确．
∴恒成立的有2个．
故答案为：2个．

点评 本题考查三角形形状的判断，能由已知条件判断出三角形为锐角三角形是关键，难度较大．