Question

13．若函数y=ln（a+e^2x）-x为偶函数，则常数a=1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义建立方程关系即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为R，
若函数y=ln（a+e^2x）-x为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即ln（a+e^-2x）+x=ln（a+e^2x）-x，
即2x=ln（a+e^2x）-ln（a+e^-2x）=ln（a+e^2x）-ln$\frac{a•{e}^{2x}+1}{{e}^{2x}}$=ln（a+e^2x）-ln（a•e^2x+1）+lne^2x=ln（a+e^2x）-ln（a•e^2x+1）+2x，
即ln（a+e^2x）-ln（a•e^2x+1）=0，
则ln（a+e^2x）=ln（a•e^2x+1），
a+e^2x=a•e^2x+1，
则a=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．