Question

3．设函数f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$，若?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，1）
• B． （$\frac{2}{3}$，2）
• C． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 可根据条件得到，?x∈（0，+∞），$m＞-\frac{{x}^{3}}{3}+x$恒成立，可设$g（x）=-\frac{{x}^{3}}{3}+x$，求导数g′（x）=-x²+1，可判断导数在（0，+∞）上的符号，从而得出g（x）的最大值，这样即可得出m的取值范围．

解答 解：?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，即$\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}-\frac{x}{3}＜0$恒成立；
∴$m＞-\frac{{x}^{3}}{3}+x$恒成立；
设$g（x）=-\frac{{x}^{3}}{3}+x$，g′（x）=-x²+1；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0；
∴x=1时，g（x）取最大值$\frac{2}{3}$；
∴$m＞\frac{2}{3}$；
∴实数m的取值范围为$（\frac{2}{3}，+∞）$．
故选：C．

点评 考查不等式的性质，根据导数符号求函数最值的方法和过程，知道由m＞g（x）恒成立得到m＞g（x）_max，注意正确求导．