Question

13．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b-a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[-2.3]=-3．记{x}=x-[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（　　）

• A． d=1
• B． d=2
• C． d=3
• D． d=4

Answer 1

分析 先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，3]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，
故选：A．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中当题．