Question

1．设函数f（x）=|log_ax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n-m的最小值为$\frac{1}{3}$，则实数a=$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：①若1≤m＜n，则f（x）=-log_ax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=$\frac{1}{a}$，
又∵n-m的最小值为$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{a}$-1≥$\frac{1}{3}$，及0＜a＜1，
当等号成立时，解得a=$\frac{3}{4}$，符合题意；
②若0＜m＜n＜1，则f（x）=log_ax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，
又∵n-m的最小值为$\frac{1}{3}$，∴1-a≥$\frac{1}{3}$，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=$\frac{2}{3}$；
③若0＜m＜1＜n时，根据对数函数的性质得不满足题意．
故答案为：$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$．

点评 熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键．