Question

10．设函数y=f（x）定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x³-3x²-sin（πx）的对称中心，计算$S=f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+…+f（\frac{4028}{2015}）+f（\frac{4029}{2015}）$的值-8058）

Answer 1

分析 观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，x₁+x₂=2，求得f（x₁）+f（x₂）=-4，从而求得要求式子的值．

解答 解：观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，∵x₁+x₂=2，
∴f（x₁）+f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$-3${{x}_{1}}^{2}$-sin（πx₁ ）+${（2{-x}_{1}）}^{3}$-3 ${（2{-x}_{1}）}^{2}$-sin[π（2-x₁）]=-4，为定值，
∵$S=f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+…+f（\frac{4028}{2015}）+f（\frac{4029}{2015}）$，且S=$\frac{4029}{2015}$+$\frac{4028}{2015}$+$\frac{4027}{2015}$+…+$\frac{2}{2015}$+$\frac{1}{2016}$，
故2S=-4×4029，∴S=-8058，
故答案为：-8058．

点评 本题主要考查正弦函数的函数的图象的对称性，求函数的值，属于中档题．