Question

20．设函数$f（x）=\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）$．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性 定义进行证明．
（2）根据指数幂的运算法则进行化简即可．
（3）利用（2）的结论进行求解．

解答 解：（1）证明：在定义域R上任取两个自变量值x₁，x₂且x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{4^{x_1}}}}{{2+{4^{x_1}}}}-\frac{{{4^{x_2}}}}{{2+{4^{x_2}}}}=\frac{{{4^{x_1}}（{2+{4^{x_2}}}）-{4^{x_2}}（{2+{4^{x_1}}}）}}{{（{2+{4^{x_1}}}）（{2+{4^{x_2}}}）}}=\frac{{2（{{4^{x_1}}-{4^{x_2}}}）}}{{（{2+{4^{x_1}}}）（{2+{4^{x_2}}}）}}$
由x₁＜x₂可得：${4^{x_1}}-{4^{x_2}}＜0$
从而f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
根据函数单调性的定义可得：函数f（x）在R上为增函数．
（2）证明：因为$f（t）+f（{1-t}）=\frac{4^t}{{2+{4^t}}}+\frac{{{4^{1-t}}}}{{2+{4^{1-t}}}}$=$\frac{{{4^t}（{2+{4^{1-t}}}）+{4^{1-t}}（{2+{4^t}}）}}{{（{2+{4^t}}）（{2+{4^{1-t}}}）}}$=$\frac{{2（{{4^t}+{4^{1-t}}}）+8}}{{4+2（{{4^t}+{4^{1-t}}}）+4}}=1$
故对任意的实数t都有f（t）+f（1-t）=1
（3）由（2）可得：$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）=1$，$f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）=1$$f（{\frac{3}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）=1$，…，$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{1}{2016}}）=1$
令$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）=M$
则$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）+…+f（{\frac{1}{2016}}）=M$
上下等式左右两边分别相加可得：2015×1=2M
故可得：$M=\frac{2015}{2}$
因此，$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）=\frac{2015}{2}$

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数值的求解，根据指数幂的运算法则是解决本题的关键．