Question

15．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c且cos2B+3cosB-1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知可得2cos²B+3cosB-2=0，解得cosB，从而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可得b²=3a²-3a+1，其中0＜a＜1，由于二次函数f（a）=3a²-3a+1在$（0，\frac{1}{2}]$上递减，在$[\frac{1}{2}，1）$上递增，从而可求b²的最小值，进而得解b的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB-1=0，
∴2cos²B+3cosB-2=0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$或cosB=-2（舍去），
∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=1-3a（1-a）=3a²-3a+1，其中0＜a＜1，
∵f（a）=3a²-3a+1在$（0，\frac{1}{2}]$上递减，在$[\frac{1}{2}，1）$上递增，
∴$b_{min}^2=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$，又0＜b＜1，
∴${b_{min}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，二次函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．