Question

9．已知点T（-1，1）在抛物线y²=2px（p＞0）的准线上．
（1）求该抛物线方程；
（2）若AB是抛物线过点C（0，-3）的任一弦，点M是抛物线准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与抛物线交于P，Q两点，求证：直线PQ的斜率为定值，并求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的准线，由$\frac{p}{2}$=1，解得p，即可得到抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把AB方程代入抛物线的方程，利用判别式大于零求得m的范围，再把MA的方程代入抛物线的方程，设出弦的端点坐标，利用韦达定理以及斜率公式求得该弦的斜率为定值．根据弦长公式求得弦长PQ的解析式，根据m的范围，利用不等式的性质求出|PQ|的取值范围．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB方程：m（y+3）=x，代入y²=4x，y²-4my-12m=0，
由△＞0，求得m＜-3或m＞0，y₃+y₄=4m，y₃•y₄=-12m．
由于点M（-1，0），直线AM：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²-4•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$y+4=0，
∴y₁y_P=4，y_P=$\frac{4}{{y}_{1}}$．
∴点P（$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，$\frac{4}{{y}_{1}}$），Q（$\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}$，$\frac{4}{{y}_{2}}$），
k_PQ=$\frac{\frac{4}{{y}_{1}}-\frac{4}{{y}_{2}}}{\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-12m}{4m}$=-3，为定值．
∵|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|y_P-y_Q|=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$$\sqrt{1+\frac{3}{m}}$．
由m＜-3，或m＞0，可得|PQ|∈（0，$\frac{4\sqrt{10}}{9}$）∪（$\frac{4\sqrt{10}}{9}$，+∞）．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程的应用，直线的斜率公式，不等式的基本性质，属于中档题．