Question

17．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin²B-2sin²A=sin²C，tan（A+B）=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$．
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据的两角和正切公式得到A=$\frac{π}{4}$，由三角形的三个的角的关系，二倍角公式，以及同角的三角形函数的关系，即可求出，
（2）由正弦定理和三角形的面积公式即可求出b的值．

解答 解：（1）∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
∵2sin²B-2sin²A=sin²C，
∴2sin²（π-$\frac{π}{4}$-C）-2×$\frac{1}{2}$=sin²C，
∴2sin²（$\frac{π}{4}$+C）-1=sin²C，
∴-cos（$\frac{π}{2}$+2c）=sin²C，
∴sin2C=sin²C，
∴2sinCcosC=sin²C，
∵sinC＞0，
∴2cosC=sinC，
∵cos²C+sin²C=1，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
（2）∵2sin²B-2sin²A=sin²C，
∴2sin²B=2sin²A+sin²C=2×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
∵△ABC的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$absinC=3，
∴ab=3$\sqrt{5}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴a=$\frac{\sqrt{30}}{6}$b，
∴b=3

点评 本题考查正弦定理，以及面积公式的运用，以及同角三角函数间的关系．要注意观察题目条件的等价转化，属于中档题．