Question

5．已知三角形ABC的外接圆半径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求a²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 角A、B、C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，解得B．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=2，可得a²+c²=2$sin（2A-\frac{π}{6}）$+4，利用A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，可得$（2A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$．即可得出．

解答 解：在三角形ABC中，∵角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
解得B=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴a²+c²=4sin²A+4sin²C=2（1-cos2A）+2（1-cos2C）
=-2cos2A-2cos2$（\frac{2π}{3}-A）$+4
=$\sqrt{3}$sin2A-cos2A+4
=2$sin（2A-\frac{π}{6}）$+4，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（2A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$．
∴$sin（2A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{1}{2}，1]$，
∴a²+c²∈（3，6]．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、三角形内角和定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．