Question

10．已知直线y=3x+1与曲线y=ax³+3相切，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． ±1
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 设切点为（x₀，y₀），由于y′=3ax²，利用导数的几何意义可得k=3ax₀²，又由于点（x₀，y₀）在曲线与直线上，建立方程关系，即可解出a．

解答 解：设切点为（x₀，y₀），
∵y=ax³+3的导数y′=3ax²，
则k=3ax₀²，y₀=ax₀³+1
则对应的切线方程为y-（ax₀³+1）=3ax₀²（x-x₀），即y=3ax₀²x+1-2ax₀³，
∵y=3x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a{{x}_{0}}^{2}=3}\\{1-2a{{x}_{0}}^{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a{{x}_{0}}^{2}=1}\\{1-2a{{x}_{0}}^{3}=0}\end{array}\right.$，得x₀=1，a=1，
故选：A

点评 本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．，要求熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等．