Question

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且点P（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．
    ①求直线AB的斜率；
    ②求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，相减，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值；
②设出直线AB的方程：y=-x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由P代入椭圆方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{6}$，b=c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²+2y₁²=6，x₂²+2y₂²=6，
相减可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由题意可得k_OM=k_OP=$\frac{1}{2}$，
即为$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
可得直线AB的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$×2=-1；
②设直线AB的方程为y=-x+t，
代入椭圆方程可得，3x²-4tx+2t²-6=0，
由△=16t²-12（2t²-6）＞0，解得-3＜t＜3，
x₁+x₂=$\frac{4t}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{3}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{9}-\frac{8{t}^{2}-24}{3}}$
=$\frac{4}{3}$$\sqrt{9-{t}^{2}}$，
又O到AB的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$，
即有△AOB面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{t}^{2}（9-{t}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\frac{{t}^{2}+9-{t}^{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当t²=9-t²，即t=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，S取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．