Question

5．设A、B、C、D为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上四个不同的点，且直线AB与直线CD相交于点P，α，β分别为直线AB、CD的倾斜角，试推断当α，β满足什么关系时，A、B、C、D四点共圆？请说明理由．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），得$（{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α）{t}^{2}+2（{b}^{2}{x}_{0}cosα+{a}^{2}{y}_{0}sinα）$t+${{x}_{0}}^{2}{b}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}$=0，由此利用韦达定理及弦AB、CD共圆，得（a²-b²）（sin²α-sin²β）=0，由此能求出当α+β=π时，A、B、C、D四点共圆．

解答 解：当α+β=π时，A、B、C、D四点共圆．
理由如下：
∵A、B、C、D为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上四个不同的点，
且直线AB与直线CD相交于点P，α，β分别为直线AB、CD的倾斜角，
设P（x₀，y₀），
∴直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）后整理，得：
$（{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α）{t}^{2}+2（{b}^{2}{x}_{0}cosα+{a}^{2}{y}_{0}sinα）$t+${{x}_{0}}^{2}{b}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}$=0，
∵AB与椭圆交于A、B两点，∴方程有两个不等的实根，由韦达定理得：
t₁t₂=-$\frac{{{x}_{0}}^{2}{b}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}β+{a}^{2}si{n}^{2}β}$，
∵弦AB、CD共圆的充要条件是|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，
即弦AB、CD共圆的充要条件是：
b²cos²α+a²sin²α=b²cos²β+a²sin²β，
整理，得（a²-b²）（sin²α-sin²β）=0，
∴sin²α=sin²β，
∵α≠β，且α，β∈（0，π），
∴α+β=π时，A、B、C、D四点共圆．

点评 本题考查四点共圆的条件的判断及证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、四点共圆性质的合理运用．