Question

15．已知△ABC中．∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），求当$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值时，tan（A-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；
（2）先根据向量的数量得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-10cos²A+5，设cosA=x，则-$\frac{1}{2}$＜x＜1，得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其对称轴x=$\frac{3}{5}$，根据函数的性质得到
cosA=$\frac{3}{5}$，再根据同角的三角函数的关系以及两角差的正切公式即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2acosB=ccosB+bcosC．
∴由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-5cos2A=12cosA-10cos²A+5，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
设cosA=x，则-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其对称轴x=$\frac{3}{5}$，
∴当x=$\frac{3}{5}$时函数有最大值，则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值，
即cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，
∴tan（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanA-tan\frac{π}{4}}{1+tanAtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正切正弦公式进行化简是解决本题的关键．