Question

4．f（x）=e^-x（x²-3x+1），若对于任意m，n∈[$\frac{1}{2}$，+∞），|f（m）-f（n）|＜a恒成立，a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{2\sqrt{e}}$，+∞）
• B． （$\frac{5}{{e}^{4}}$-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$，+∞）
• C． （$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{5}{{e}^{4}}$）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，利用导数f′（x）判断f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上的单调性与最值，
再根据|f（m）-f（n）|＜a恒成立，求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=e^-x（x²-3x+1），
∴f′（x）=e^-x（-x²+5x-4）=-e^-x（x-1）（x-4），
∴当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
1＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
x＞4时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
又x→+∞时，f（x）→0，
∴x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）时，f（x）_min=f（1）=e^-1×（1-3+1）=-$\frac{1}{e}$，
f（x）_max=f（4）=e^-4×（16-12+1）=$\frac{5}{{e}^{4}}$，
∴对于任意m，n∈[$\frac{1}{2}$，+∞），|f（m）-f（n）|＜a恒成立，
∴a＞$\frac{5}{{e}^{4}}$-（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，
即a的取值范围是（$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了利用导函数f′（x）判断函数f（x）在某一区间上的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立的问题，是综合性题目．