Question

12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}$=$\frac{b-c}{a-c}$．
（1）求角B；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：$\frac{b-c}{a-c}$=$\frac{a}{b+c}$，整理可得：c²+a²-b²=ac，根据余弦定理可得：cosB=$\frac{1}{2}$，根据0＜B＜π可得B的值．
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出a+c的范围，再利用三角形三边的关系求出a+c的范围．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinA}{sinB+sinC}$=$\frac{b-c}{a-c}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b-c}{a-c}$=$\frac{a}{b+c}$，整理可得：c²+a²-b²=ac，
∴利用余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由0＜B＜π可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
即3ac=（a+c）²-3≤3[$\frac{1}{2}$（a+c）]2，
化简得，（a+c）²≤12（当且仅当a=c时取等号），
则a+c≤2$\sqrt{3}$，又a+c＞b=$\sqrt{3}$，
综上得，a+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值在解三角形中的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．