Question

6．已知函数f（x）=x+sinπx-3，则$f（\frac{1}{2016}）+f（\frac{2}{2016}）+f（\frac{3}{2016}）+…+f（\frac{4031}{2016}）$的值为-8062．

Answer 1

分析 根据条件求出f（x）+f（2-x）=-4，然后利用倒序相加法进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=x+sinπx-3，
∴f（2-x）=2-x+sin（2π-πx）-3=2-x-sinπx-3，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
∴设$f（\frac{1}{2016}）+f（\frac{2}{2016}）+f（\frac{3}{2016}）+…+f（\frac{4031}{2016}）$=S，
则f（$\frac{4031}{2016}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）=S，
两式相交得2S=2016×（f（$\frac{4031}{2016}$）+f（$\frac{1}{2016}$））=4031×（-4），
即S=-8062，
故答案为：-8062．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件求f（x）+f（2-x）=-4，意见利用倒序相加法是解决本题的关键．