Question

16．已知${（\sqrt{x}-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^n}$二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x³项的系数．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x³项的系数．

解答 解：（1）由题意可得$C_n^3：C_n^2=8：3$，解得：n=10．
（2）由${（\sqrt{x}-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^n}$二项展开式的通项公式为 ${T_{k+1}}=C_{10}^k{（\sqrt{x}）^{10-k}}{（-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^k}={（-3）^k}C_{10}^k{x^{5-k}}$，
令5-k=3，可得k=2，故展开式中x³项的系数为9•${C}_{10}^{2}$=405．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．