Question

1．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，准线方程为y=-1，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意可设所求抛物线的标准方程为：x²=2py（p＞0），又知准线方程为y=-1，即可求出p，则抛物线的标准方程可求；
（Ⅱ）由双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，可设双曲线方程为：x²-4y²=λ，把已知点的坐标代入双曲线方程即可求出λ的值，则双曲线的标准方程可求．

解答 解：（Ⅰ）依题意可设所求抛物线的标准方程为：x²=2py（p＞0），
∵准线为y=-1，∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴抛物线的标准方程为x²=4y；     
（Ⅱ）由双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，可设双曲线方程为：x²-4y²=λ，
∵双曲线经过点（2，2），∴λ=2²-4×2²=-12．
故双曲线方程为：$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{12}=1$．

点评 本题考查了抛物线和双曲线的标准方程，考查了抛物线和双曲线的性质，是基础题．