Question

13£®ÒÑÖªÍÖÔ²x²$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1µÄ×ó¡¢ÓÒ½¹µã·Ö±ðΪF₁¡¢F₂£¬PÊÇÍÖÔ²ÉÏÈÎÒâÒ»µã£¬OΪ×ø±êÔ­µã£¬¶¯µãMÂú×ã|OM|²=|PF₁|²+|PF₂|²+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$£¬O¡¢P¡¢MÈýµã¹²Ïߣ¬¹ý¶¨µãQ£¨0£¬2£©µÄÖ±ÏßlÓ붯µãMµÄ¹ì¼£½»ÓÚG¡¢HÁ½µã£¨GÔÚQ¡¢HÖ®¼ä£©£®
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Answer 1

·ÖÎö £¨¢ñ£©ÓÉÏòÁ¿µÈʽ¿ÉµÃ$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$£¬ÔÙÓÉO¡¢P¡¢MÈýµã¹²Ï߿ɵÃ$\overrightarrow{OM}=¡À2\overrightarrow{OP}$£¬ÉèM£¨x£¬y£©£¬ÓÃMµÄ×ø±ê±íʾPµÄ×ø±ê£¬°ÑPµÄ×ø±ê´úÈëÍÖÔ²·½³Ì¿ÉµÃ¶¯µãMµÄ¹ì¼£·½³Ì£»
£¨¢ò£©ÔÚxÖáÉÏ´æÔÚµãN£¨m£¬0£©£¬Ê¹µÃNH=NG£¬ÉèlµÄ·½³ÌΪy=kx+2£¨k£¾0£©£¬ÓëÍÖÔ²·½³ÌÁªÁ¢£¬ÀûÓÃΤ´ï¶¨Àí£¬½áºÏ£¨$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$£©•$\overrightarrow{GH}$=0¼´¿ÉÇó³öʵÊýmµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

½â´ð ½â£º£¨¢ñ£©ÓÉ|OM|²=|PF₁|²+|PF₂|²+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$£¬
µÃ$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$£¬¼´$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=£¨\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}£©^{2}$=$£¨-2\overrightarrow{OP}£©^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$£¬
¡ßO¡¢P¡¢MÈýµã¹²Ïߣ¬
¡à$\overrightarrow{OM}=¡À2\overrightarrow{OP}$£¬ÉèM£¨x£¬y£©£¬ÔòP£¨$\frac{x}{2}£¬\frac{y}{2}$£©»òP£¨-$\frac{x}{2}£¬-\frac{y}{2}$£©£¬
ÓÉPÔÚÍÖÔ²x²$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1ÉÏ£¬µÃ$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$£¬
¹Ê¶¯µãMµÄ¹ì¼£·½³ÌΪ$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$£»
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ÀíÓÉÈçÏ£º
ÉèlµÄ·½³ÌΪy=kx+2£¨k£¾0£©£¬
ÓÉ$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$£¬µÃ£¨3+4k²£©x²+16kx+4=0£®
¡ßÖ±ÏßlÓëÍÖÔ²ÓÐÁ½¸ö½»µã£¬
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ÓÖ¡ßk£¾0£¬¡àk£¾1£®
ÉèG£¨x₁£¬y₁£©£¬H£¨x₂£¬y₂£©£¬Ôò${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$£®
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¹Ê£¨x₂-x₁£©[£¨x₁+x₂£©-2m+k²£¨x₁+x₂£©+4k]=0£®
¼´£¨x₂-x₁£©[£¨1+k²£©£¨x₁+x₂£©+4k-2m]=0
¡ßk£¾0£¬¡àx₂-x₁¡Ù0£¬
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¡à£¨1+k²£©£¨$\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$£©+4k-2m=0£¬½âµÃm=$\frac{-2}{\frac{3}{k}+4k}$£¬
Éèy=$\frac{3}{k}+4k$£¬µ±k£¾1ʱ£¬y¡ä=-$\frac{3}{{k}^{2}}+4$=$\frac{4{k}^{2}-3}{{k}^{2}}$£¾0£¬
¡àº¯Êýy=$\frac{3}{k}+4k$ÔÚ£¨1£¬+¡Þ£©Éϵ¥µ÷µÝÔö£¬
¡ày£¾7£¬
¡àm=$\frac{-2}{y}$£¾-$\frac{2}{7}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ·½³Ì£¬¿¼²éÖ±ÏßÓëÔ²µÄλÖùØϵ£¬¿¼²éÖ±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵ£¬¿¼²éÏòÁ¿ÖªÊ¶µÄÔËÓ㬿¼²éΤ´ï¶¨Àí£¬¿¼²éѧÉúµÄ¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮