Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n+1}-11）}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞$\frac{k}{20}$对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{11}{2}$，化为S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n$． 利用递推关系即可得出．
（2）利用“裂项求和”可得T_n，再利用数列的单调性、不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{11}{2}$，化为S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n$．…（2分）
故当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n）$-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{11}{2}（n-1）]$=n+5，…（5分）
当n=1时，a₁=S₁=6=1+5，
∴a_n=n+5．…（6分）
（Ⅱ）b_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n+1}-11）}$=$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（8分）
∴T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{3n}{2n+1}$．…（10分）
由于T_n+1-T_n=$3（\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}）$=$\frac{3}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，
因此T_n单调递增，…（12分）
故（T_n）_min=1．
令1$＞\frac{k}{20}$，解得k＜20，
∴k_max=19．…（13分）

点评 本题考查了数列的单调性、不等式的性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．