Question

15．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=lnx³
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．y=lnx³的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B．y=-x²为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
C．y=x|x|的定义域为R，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴该函数为奇函数；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴该函数在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函数，且0²=-0²；
∴该函数在R上为增函数，∴该选项正确；
D.$y=\frac{1}{x}$在定义域上没有单调性，∴该选项错误．
故选：C．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．