Question

15．已知实数$\frac{1}{2}$，m，18成等比数列，则圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$或2．

Answer 1

分析 运用等比数列的中项的性质，可得m，讨论m=3，m=-3，由椭圆和双曲线，即可得到a，b，c，可得离心率．

解答 解：实数$\frac{1}{2}$，m，18成等比数列，可得
m²=$\frac{1}{2}$×18=9，解得m=±3，
当m=3时，$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当m=-3时，y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{1+3}$=2，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$或2．

点评 本题考查圆锥曲线的离心率的求法，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．