Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）若$\frac{2{a}^{2}}{c}$=3$\sqrt{2}$，求椭圆方程；
（2）直线l过点C（-1，0）交椭圆于A、B两点，且满足：$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，试求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为：x=my-1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得弦弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，再利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|，结合$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，运用向量共线的坐标表示，可得m²=6，即可得到所求值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=3$\sqrt{2}$，
可得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设过点C（-1，0）的直线l的方程为x=my-1，
代入椭圆方程可得，（3+m²）y²-2my-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{3+{m}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}-\frac{-8}{3+{m}^{2}}]}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$．
点O到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
即有S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，可得y₁=-3y₂，
代入韦达定理，可得m²=6，
则△OAB面积是$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{2+6}}{3+6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．