Question

2．已知f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²（y≠0），则f（x，y）的最小值是$\frac{16}{17}$．

Answer 1

分析 f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²的几何意义是两点的距离的平方，从而构造函数y=$\frac{x}{4}$与y=-$\frac{1}{x}$，从而结合图象解得．

解答 解：设点A（x，$\frac{x}{4}$），B（y，-$\frac{1}{y}$），
故f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²的几何意义是点A与点B的距离的平方；
而点A在直线y=$\frac{x}{4}$上，点B在双曲线y=-$\frac{1}{x}$上，
故作直线y=$\frac{x}{4}$与双曲线y=-$\frac{1}{x}$的图象如下，
，
结合图象可知，转化为求双曲线上的点到直线y=$\frac{x}{4}$的最小距离的平方，
∵y=-$\frac{1}{x}$，
∴令y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$解得x=±2；
故切点坐标为C（-2，$\frac{1}{2}$）或D（2，-$\frac{1}{2}$）；
点C到直线y=$\frac{x}{4}$的距离d₁=$\frac{|\frac{1}{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
点D到直线y=$\frac{x}{4}$的距离d₂=$\frac{|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
故f（x，y）的最小值是（$\frac{4\sqrt{17}}{17}$）²=$\frac{16}{17}$．
故答案为：$\frac{16}{17}$．

点评 本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用，同时考查了学生的转化能力及导数的综合应用．