Question

13．已知函数y=e^x（x²-4x+1）．求：
（1）函数的极值、单调区间；
（2）函数在闭区间[-2，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，由导函数等于0找出极值点，由导函数的正负确定函数的单调区间．
（2）先确定所给区间的单调性，将极值找出后，再将端点值找到后进行比较，较大的为最大值，较小的为最小值．

解答 解：（1）∵y=e^x（x²-4x+1），
∴y′=e^x（x²-2x-3），
y′=0时，x=3或x=-1，
∴x=-1时取极大值为$\frac{6}{e}$，x=3时取极小值为-2e³，
函数的递增区间是（-∞，-1），（3，+∞），递减区间是（-1，3），
（2）∵函数y在（-2，-1）上单调递增，在（-1，3）上单调递减，（3，4）上单调递增，
∴函数在[-2，4]上有极大值为$\frac{6}{e}$，极小值为-2e³，
两个端点值为13e^-2，和e⁴，
∴y的最大值为e⁴，最小值为-2e³．

点评 本题考查导函数与函数性质，有极值、单调性和最值问题．