Question

8．设△ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是$[2\sqrt{3}，4）$．

Answer 1

分析 由|BC|=2，可设B（-1，0），C（1，0），即c=1．|GB|+|GC|=4=2a＞2=|BC|，可得：点G在椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，可得|GO|∈$[\sqrt{3}，2）$．再利用|GA|=2|GO|，即可得出．

解答 解：∵|BC|=2，∴可设B（-1，0），C（1，0），即c=1．
∵|GB|+|GC|=4=2a＞2=|BC|，
∴b²=a²-c²=3．
∴点G在椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴|GO|∈[b，a），即|GO|∈$[\sqrt{3}，2）$．
∵|GA|=2|GO|，
∴|GA|∈$[2\sqrt{3}，4）$，
故答案为：$[2\sqrt{3}，4）$，

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．