Question

18．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．

Answer 1

分析 （1）根据题意，令x=1求出n的值，再利用通项公式求出展开式的常数项；
（2）令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．

解答 解：（1）对（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ，所有二项式系数和为2ⁿ=512，
解得n=9；
设T_r+1为常数项，则：
T_r+1=C₉^r•${（\sqrt{x}）}^{9-r}$•${（\frac{2}{x}）}^{r}$=C₉^r2^r${x}^{\frac{9-r}{2}-r}$，
由$\frac{9-r}{2}$-r=0，得r=3，
∴常数项为：C₉³•2³=672；
（2）令x=1，得（1+2）⁹=3⁹．

点评 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．