Question

14．O为△ABC的外心，|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=2，∠BAC为钝角，M在BC上，且$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MC}$，则$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AO}$的值是（　　）

• A． 4
• B． $\frac{14}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据数量积的定义可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AM}$即可求得$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AO}$的值．

解答 解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=AB•AO•cos∠OAB=AB•AE=4×2=8，
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=AC•AO•cos∠OAC=AC•AF=2×1=2．
∵$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MC}$，∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AO}$=（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{3}$=4．
故选：A．

点评 本题将△ABC放在它的外接圆O中，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．