Question

5．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+mx为偶函数，g（x）=$\frac{{{4^x}-n}}{2^x}$为奇函数．
（1）求mn的值；
（2）设h（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$，若g（x）＞h（log₄（2a+1））对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=1；再根据偶函数满足f（-x）=f（x），比较系数可得m=-$\frac{1}{2}$，由此即可得到mn的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定义在R上的增函数g（x）在x≥1时的最小值为g（1）=$\frac{3}{2}$，从而不等式转化成$\frac{3}{2}$＞log₄（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即$\frac{{{4^0}-n}}{2^0}=0⇒n=1$，…（3分）
∵$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+mx$，
∴$f（{-x}）={log_4}（{{4^{-x}}+1}）-mx={log_4}（{{4^x}+1}）-（{m+1}）x$，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故$m=-\frac{1}{2}$，
综上所述，可得mn=$-\frac{1}{2}$；…（4分）
（2）∵$h（x）=f（x）+\frac{1}{2}x={log_4}（{{4^x}+1}）$，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}={2^x}-{2^{-x}}$在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{3}{2}$…（3分）
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}2a+2＜{4^{\frac{3}{2}}}\\ 2a+1＞0\\ 2a+2＞0\end{array}\right.?-\frac{1}{2}＜a＜3$，
因此，实数a的取值范围是：$\{a|-\frac{1}{2}＜a＜3\}$．…（3分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立，根据函数奇偶性的性质建立方程关系求出m，n的值，将不等式进行化简，然后根据不等式恒成立将不等式进行转化是解决本题的关键．