Question

17．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m\sqrt{1-{x^2}}，x∈（{-1，1}]\\ 1-|{x-2}|，x∈（{1，3}]\end{array}\right.$，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）-x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\sqrt{7}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{8}{3}）$
• C． $（\frac{4}{3}，\sqrt{7}）$
• D． $（\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$

Answer 1

分析 根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=$\frac{x}{3}$与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．

解答 解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
若方程3f（x）-x=0恰有5个根，则等价为f（x）=$\frac{x}{3}$恰有5个根，
由图易知直线 y=$\frac{x}{3}$与第二个椭圆（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=$\frac{x}{3}$代入（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，
得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$，
同样由 y=$\frac{x}{3}$与第三个椭圆（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜$\sqrt{7}$，
综上可知m∈（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$），
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．