Question

13．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由向量的几何意义可知：∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，对两式的两边分别平方相减即得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$，即$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$|=5，|$\overrightarrow{BD}$|=|$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$|=4，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$=25，${\overrightarrow{AD}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$=16．
将两式相减得4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=9$．∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{9}{4}$．
∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，向量的数量积运算，属于基础题．