Question

15．已知$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，\;m+cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx，-m+cosx）$，且f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值-$\frac{5}{2}$，此时X=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示，以及二倍角公式和辅助角公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最值．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-m²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-m²
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-m²，
由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有x=-$\frac{π}{6}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
可得f（x）的最小值为-m²=-4，可得m=±2；
x=$\frac{π}{6}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
即有f（x）取得最大值1+$\frac{1}{2}$-4=-$\frac{5}{2}$，
故答案为：-$\frac{5}{2}$，$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查正弦函数的值域的求法，注意运用二倍角公式和辅助角公式，考查运算能力，属于中档题．