Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形的周长为2$\sqrt{2}$+2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义和离心率公式、以及a，b，c的关系，求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）先利用特殊位置，猜想点M的坐标，再证明一般性也成立即可．

解答 解：（1）由题意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由椭圆的定义可得，2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）假设x轴上存在点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．
椭圆的右焦点为（1，0），
当直线l的斜率为0时，A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），
则（$\sqrt{2}$-m）（-$\sqrt{2}$-m）=-$\frac{7}{16}$，
解得m=±$\frac{5}{4}$①
当直线l的斜率不存在时，可得A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$，即为（1-m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（1-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{7}{16}$，
即为（1-m）²=$\frac{1}{16}$
∴m=$\frac{5}{4}$或m=$\frac{3}{4}$②
由①②可得m=$\frac{5}{4}$．
下面证明m=$\frac{5}{4}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$，
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁）•（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂）=（ty₁-$\frac{1}{4}$）（ty₂-$\frac{1}{4}$）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂-$\frac{1}{4}$t（y₁+y₂）+$\frac{1}{16}$
=$\frac{-2{t}^{2}-2+{t}^{2}}{2（{t}^{2}+2）}$+$\frac{1}{16}$=-$\frac{7}{16}$，
综上，x轴上存在点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程，向量的数量积的坐标表示，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，属于中档题．