Question

12．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，顶点分别为A₁，A₂，B₁，B₂，左右焦点分别为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于P点，若∠B₁PA₂为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为$（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 ${k}_{1}={k}_{{B}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{b}{c}$，${k}_{2}={k}_{{A}_{2}{B}_{2}}$=-$\frac{b}{a}$．由于∠B₁PA₂为钝角，可得tan∠B₁PA₂=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$＜0，化简整理即可得出．

解答 解：${k}_{1}={k}_{{B}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{b}{c}$，${k}_{2}={k}_{{A}_{2}{B}_{2}}$=-$\frac{b}{a}$．
∵∠B₁PA₂为钝角，
∴tan∠B₁PA₂=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{-\frac{b}{a}-\frac{b}{c}}{1+（-\frac{b}{a}）•\frac{b}{c}}$＜0，
化为：ac-b²＜0，
∴c²+ac-a²＜0，
∴e²+e-1＜0，0＜e＜1，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜1．
则此椭圆的离心率的取值范围为 $（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．
故答案为：$（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次不等式的解法、“到角公式”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．