Question

19．已知sinα=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．sinβ=$\frac{4}{5}$，β是第二象限角．
（1）cos（α-β）；
（2）tan2α；
（3）sin（$\frac{π}{4}$+β）的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得cosα和cosβ，分别由和差角的三角函数公式可得．

解答 解：∵sinα=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
又∵sinβ=$\frac{4}{5}$，β是第二象限角，∴cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=-$\frac{3}{5}$，
（1）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$+$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=0；
（2）∵tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{3}{4}$，∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$；
（3）sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{10}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式，属基础题．