Question

4．若对于函数y=f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=2b-f（a-x），则y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．

Answer 1

分析 根据图象的对称即可得到y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，并证明成立即可．

解答 解：函数y=f（x）满足f（a+x）=2b-f（a-x），
设（m，n）是函数y=f（x）图象上任意一点，该点关于点（a，b）对称的点的坐标是（c，d），
那么，点（a，b）是点（m，n）与点（c，d）的中点，
即：m+c=2a，n+d=2b，
令x₀=a-m，则m=a-x₀，c=a+x₀，
点（m，n）在函数y=（x）的图象上，
那么：n=f（m）=f（a-x₀），
所以，d=2b-n=2b-f（a-x₀）=f（a+x₀）=f（c），
即点（c，d ）也在函数y=f（x）的图象上则，
函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，
即图象关于（a，b）成中心对称．
故答案为：（a，b）

点评 本题考查了函数的对称中心的问题，希望同学们也把这个结论记住，很多时候直接应用即可，属于中档题．