Question

1．已知$\frac{π}{4}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，且cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α-β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．

解答 解：∵$\frac{π}{4}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜α-β$＜\frac{3π}{2}$，
∵cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]，
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β），
=$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{12}{13}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{56}{65}$．

点评 本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．