Question

(本小题满分14分)
如图所示，已知圆，为定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线E.
 
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，设线段的中垂线交轴于点，求实数m的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及椭圆方程的求解的综合运用。
（1）因为由题意知，.
又，
∴动点D的轨迹是以点为焦点的椭圆
（2）根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解。
解：（Ⅰ）由题意知，.
又，
∴动点D的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长，
焦距. ，
∴曲线的方程为  6分
（Ⅱ）①当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；  8分
②当的斜率存在时，设的方程为，代入
得：
，由得，  10分
设，则，，
，
∴线段的中点为，中垂线方程为，12分
令得. 由，易得.
综上可知，实数m的取值范围是.                14分