【题目】如图所示,在三棱柱中,
为正方形,
为菱形,
,平面
平面
.
(1)求证:;
(2)设点、
分别是
,
的中点,试判断直线
与平面
的位置关系,并说明理由;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) 平面
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的性质可得平面
,由此可得
,由菱形的性质得
,从而可证
平面
,即可证明结论成立;(2)取
的中点
,连接
、
,可证明四边形
为平行四边形,从而得到
平面
;(3)建立空间直角坐标系,求平面
的一个法向量由(1)知
是平面
的一个法向量,用空间向量的夹角公式求之即可.
试题解析:(1)连接,在正方形
中,
,
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,因为
平面
,所以
.
在菱形中,
,因为
面
,
平面
,
,所以
平面
,因为
平面
,所以
.
(2)平面
,理由如下:
取的中点
,连接
、
,因为
是
的中点,所以
,且
,因为
是
的中点,所以
.
在正方形中,
,所以
,且
.
∴四边形为平行四边形,所以
.
因为,
,
所以.
(3)在平面内过点
作
,
由(1)可知:,以点
为坐标原点,分别以
、
所在的直线为
、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,设
,则
.
在菱形中,
,所以
,
.
设平面的一个法向量为
.
因为即
,
所以即
,
由(1)可知:是平面
的一个法向量.
所以,
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】函数的一段图象如图5所示:将
的图像向右平移
个单位,可得到函数
的图象,且图像关于原点对称,
(1)求的值;
(2)求的最小值,并写出
的表达式;
(3)若关于的函数
在区间
上最小值为
,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,已知长方形中,
,
,
为
的中点.将
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)求证: ;
(2)若点是线段
上的一动点,问点
在何位置时,二面角
的余弦值为
.
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【题目】如图,在五棱锥中,平面
平面
,且
.
(1)已知点在线段
上,确定
的位置,使得
平面
;
(2)点分别在线段
上,若沿直线
将四边形
向上翻折,
与
恰好重合,求三棱锥
的体积.
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【题目】某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
、
,上顶点为
,过
与
垂直的直线交
轴负半轴于
点,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过、
、
三点的圆恰好与直线
相切,求椭圆
的方程;
(3)过的直线
与(2)中椭圆交于不同的两点
、
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆,圆
与
轴交于
两点,过点
的圆的切线为
是圆上异于
的一点,
垂直于
轴,垂足为
,
是
的中点,延长
分别交
于
.
(1)若点,求以
为直径的圆的方程,并判断
是否在圆上;
(2)当在圆上运动时,证明:直线
恒与圆
相切.
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【题目】已知圆,直线
经过点A (1,0).
(1)若直线与圆C相切,求直线
的方程;
(2)若直线与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】如图,某校高一(1)班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分,据此解答如下问题:
(1)求该班全体男生的人数及分数在之间的男生人数;
(2)根据频率分布直方图,估计该班全体男生的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(3)从分数在中抽取两个男生,求抽取的两男生分别来自
、
的概率.
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