【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为,过与垂直的直线交轴负半轴于点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程;
(3)过的直线与(2)中椭圆交于不同的两点、,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2) ;(3)的内切圆的面积的最大值为,此时直线的方程为.
【解析】
试题分析:(1)由椭圆的几何性质写出点的坐标,,,由向量的坐标运算计算,由这个关系可解得;(2)外接圆圆心为斜边的中点,半径,由相切的性质得,求出,再由,求出即可;
(3)设的内切圆的半径为,则的周长为,由此可得,设直线的方程为,与椭圆方程联立得,由根与系数关系代入,换元令,转化为,可知当时,有最大值,从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.
试题解析:(1)由题,为的中点.设,则,
,,由题,即,
∴即,∴.
(2)由题外接圆圆心为斜边的中点,半径,
∵由题外接圆与直线相切,∴,即,即,
∴,,,故所求的椭圆的方程为.
(3)设,,由题异号,
设的内切圆的半径为,则的周长为,
,
因此要使内切圆的面积最大,只需最大,此时也最大,
,
由题知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为,
由得,
由韦达定理得,,()
,
令,则,,
当时,有最大值3,此时,,,
故的内切圆的面积的最大值为,此时直线的方程为.
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【题目】已知椭圆的离心率为是上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于的直线交于异于的两点.点关于原点的对称点为.证明:直线与轴围成的三角形是等腰三角形.
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【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)
(1)求;
(2)若从高校抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校的概率.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若对任意恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数的图象在两点处的切线分别为,若,且,求实数的最小值.
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【题目】如图所示,在三棱柱中,为正方形,为菱形,,平面平面.
(1)求证:;
(2)设点、分别是,的中点,试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(3)求二面角的余弦值.
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【题目】某商场销售某件商品的经验表明,该商品每日的销量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
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【题目】如图,太湖一个角形湖湾( 常数为锐角). 拟用长度为(为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:
方案一 如图1,围成扇形养殖区,其中;
方案二 如图2,围成三角形养殖区,其中;
(1)求方案一中养殖区的面积;
(2)求方案二中养殖区的最大面积;
(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在处取得极值,求实数的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称,求函数单调区间;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
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