Question

1．已知一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从该盒中摸出3个球，假设每个球被摸到的可能性相同．
（Ⅰ）若每次摸一个球，摸后不放回，求三次摸到的球的颜色依次为“白，黑，白”的概率；
（Ⅱ）设摸到的白球的个数为m，黑球的个数为n，令X=m-n，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A为“三次摸到的球的颜色依次为“白，黑，白”，由排列组合知识能求出三次摸到的球的颜色依次为“白，黑，白”的概率．
（Ⅱ）X的所有取值为-3，-1，1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A为“三次摸到的球的颜色依次为“白，黑，白”，
则$P（A）=\frac{A_4^2C_3^1}{A_7^3}=\frac{6}{35}$．
（Ⅱ）X的所有取值为-3，-1，1，3，
P（X=-3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=-1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
∴X的分布列为：

X	-3	-1	1	3
p	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

∴$E（X）=（-3）×\frac{1}{35}+（-1）×\frac{12}{35}+1×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}=\frac{3}{7}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．