Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n且a₁=2，则a_n=

 

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Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：利用（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n，可得{S_n}是以2为首项，4为公比的等比数列，求出S_n，再利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出结论．

解答： 解：∵（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n，
∴（S_n+1-2S_n）²=S_n+1•S_n，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1-4S_n）=0，
∵a_n＞0，
∴S_n+1-4S_n=0，
∵a₁=2，
∴{S_n}是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴S_n=2^2n-1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6•4^n-2，
∵a₁=2，
∴a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

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故答案为：

2，n=1 6•4n-2，n≥2

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点评：本题考查了数列的递推式和等比数列的通项公式，巧用a_n=s_n-s_n-1是解题的关键，属于中档题．