Question

求下列函数的单调区间和值域．
（1）y=

1-x

2x+5

；   
（2）y=2x-

1-2x

；
（3）y=(

1

2

)|x-1|．

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分式不等式的性质求函数的单调区间以及值域；   
（2）利用函数单调性即可得到结论
（3）根据复合函数的单调性以及指数函数的性质求解．

解答： 解：（1）y=

1-x

2x+5

=

1

2

•

1-x

x+ 5 2

=-

1

2

•

x+ 5 2 -1- 5 2

x+ 5 2

=-

1

2

+

7 4

x+ 5 2

≠-

1

2

；
则函数的值域为{y|y≠-

1

2

}，
则函数的单调递减区间为（-∞，-

5

2

），（-

5

2

，+∞）．
（2）函数y=2x-

1-2x

的定义域（-∞，

1

2

]；
∵函数y=2x-

1-2x

单调递增，
∴函数的单调递增区间为（-∞，

1

2

]；
∴当x=

1

2

时，函数取得最大值，即y≤2×

1

2

-0=1，即函数的值域为（-∞，1]．
（3）∵|x-1|≥0，∴y=(

1

2

)|x-1|∈（0，1]．
设t=|x-1|，当x≥1时，函数t=|x-1|单调递增，此时函数y=(

1

2

)|x-1|单调递减，
当x＜1时，函数t=|x-1|单调递减，此时函数y=(

1

2

)|x-1|单调递增，
即函数的单调递减区间为[1，+∞），函数的递增区间为（-∞，1）．

点评：本题主要考查函数单调性和值域的求解，要求熟练掌握常见函数单调性和求值域的方法．